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    已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.

    (Ⅰ)求k的值；

    (Ⅱ)求的单调区间；

    (Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.

     

    【答案】

    (I) .(II)见解析

    【解析】(I)，

    由已知，，∴.

    (II)由(I)知，.

    设，则，即在上是减函数，

    由知，当时，从而，

    当时，从而.

    综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.

    (III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.

    当时，＞1，且，∴.

    设，，则，

    当时，，当时，，

    所以当时，取得最大值.

    所以.

    综上，对任意，

     

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