Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（　　）

• A． 在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
• B． 异面直线AD与PB所成的角为90°
• C． 二面角P-BC-A的大小为45°
• D． BD⊥平面PAC

Answer 1

分析 根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．

解答 解：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确，
对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，
设AB=1，则BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=$\frac{PM}{BM}=1$，
即∠PBM=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确，
故错误的是D，
故选：D．

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．