Question

（2012•浦东新区二模）已知函数f(x)=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤ 1

，且f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））．则满足方程f₂（x）=x的根的个数为（　　）

A．0个

B．2个

C．4个

D．6个

Answer 1

分析：要求方程f₂（x）=x的根的个数，只要确定f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））的解析式，因此需要讨论；（1）

0≤x≤ 1 2 0≤2x≤ 1 2

（2）

0≤x≤ 1 2 1 2 ＜2x≤1

（3）

1 2 ＜x＜1 1 2 ＜2-2x＜1

（4）

1 2 ＜x＜1  0≤2-2x≤ 1 2

，分别求出对应解析式，建立方程求解即可

解答：解；（1 ）当

0≤x≤ 1 2 0≤2x≤ 1 2

即0≤x≤

1

4

时，时，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
由4x=x可得，x=0
（2）当

0≤x≤ 1 2 1 2 ＜2x≤1

即

1

4

＜x≤

1

2

时，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-4x，
由2-4x=x可得，x=

2

5

（3）当

1 2 ＜x＜1 1 2 ＜2-2x＜1

即

1

2

＜x＜

3

4

时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2-2x）=2-2（2-2x）=4x-2
由4x-2=x可得，x=

2

3

（4）

1 2 ＜x＜1  0≤2-2x≤ 1 2

即

3

4

≤x＜1，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2-2x）=2（2-2x）=4-4x
由4-4x=x可得x=

4

5

综上可得，x=0，x=

2

5

，x=

2

3

，x=

4

5

故选C

点评：本题主要考查了分段函数的函数解析式的应用，解题的关键是需要根据不同的x确定f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））的解析式