Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到它的渐近线距离为$\sqrt{3}$，直线x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$（c为半焦距）与抛物线y²=2x的准线重合，则该双曲线的离心率为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用焦点到它的渐近线距离为$\sqrt{3}$，求出b，利用抛物线y²=2x的准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}$，可得a，c，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，
∵焦点到它的渐近线距离为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$，
抛物线y²=2x的准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}$，
∴c=3，a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．