Question

下面关于f（x）的判断：
①y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
②若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；
③设函数f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），若x₁＜x₂，则

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

；
④函数f（x）=lnx，x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正确的判断是

①②④

（把你认为正确的判断都填上）

Answer 1

分析：根据导数的几何意义可知f′（x₁）=

1

x1

表示在x₁处的切线的斜率，而

f(x1)-f(x2)

x1-x2

 表示横坐标为x₁与x₂的两点的斜率，结合图象进行求解即可．

解答：解：对于①：∵函数y=f（x-2）图象关于直线x=2对称的
函数解析式为y=f[（4-x）-2]=f（2-x）
故函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称正确，故①正确．
对于②：由f（2+x）=-f（x），可得f（4+x）=f（x），即f（4+x）=f（-x），
故函数的图象关于直线x=2对称，故②正确．
对于③f′（x）=

1

x

，f′（x₁）=

1

x1

表示在x₁处的切线的斜率．
而

f(x1)-f(x2)

x1-x2

 表示横坐标为x₁与x₂的两点的斜率．
若0＜x₁＜x₂，由图象考查直线的斜率满足

1

x2

＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，故③不正确；
对于④，（0＜x₁＜x₂），设横坐标为x₁与x₂的两点分别为A、B，
则与AB平行的切线的斜率为

1

x0

，故存在x₀∈（x₁，x₂），
能够使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，故④正确，
故答案为 ①②④．

点评：本题主要考查了导数的几何意义以及函数的图象等有关知识，属于中档题．