Question

设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且

MN

=2

MP

，

PM

•

PF

=0；
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上除去原点外的不同三点，且

|AF|

，

|BF|

，

|DF|

成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出N的坐标，确定

PM

，

PF

的坐标，利用

PM

•

PF

=0，可得点N的轨迹C的方程；
（2）先确定线段AD的垂直平分线的斜率、AD的斜率，可得方程，利用点B在抛物线上，即可求得点B的坐标．

解答：解：（1）设N（x，y），由

MN

=2

MP

，得点P为线段MN的中点，∴P（0，

y

2

），M（-x，0），
∴

PM

=（-x，-

y

2

），

PF

=（1，-

y

2

）．
由

PM

•

PF

=-x+

y2

4

=0，得y²=4x．
即点N的轨迹方程为y²=4x．
（2）由抛物线的定义，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵

|AF|

，

|BF|

，

|DF|

成等差数列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=

x1+x3

2

．
∵线段AD的中点为（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

），且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0），
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k=

y1+y3 2

x1+x3 2 -3

．
又k_AD=

y3-y1

x3-x1

，∴•

y3-y1

x3-x1

•

y1+y3

x1+x3-6

=-1，
即

4x3-4x1

(x32-x12)-6(x3-x1)

=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，又x₂=

x1+x3

2

，∴x₂=1．
∵点B在抛物线上，
∴B（1，2）或（1，-2）．

点评：本题考查轨迹方程，考查等差数列，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．