Question

（2011•丰台区二模）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L₁，L₂两条路线（如图），L₁路线上有A₁，A₂，A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为

1

2

；L₂路线上有B₁，B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

3

4

，

3

5

．
（Ⅰ）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设走L₁路线最多遇到1次红灯为A事件，再根据题意求出其发生的概率为P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

，即可得到答案．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．结合题意分别求出其发生的概率，即可得到随机变量X的分布列，进而求出X的期望．
（Ⅲ）根据题意可得：选择L₁路线遇到红灯次数为Y，并且随机变量Y服从二项分布Y～B(3，

1

2

)，即可根据有关公式求出Y的数学期望，进而能够做出正确的选择．

解答：解：（Ⅰ）设走L₁路线最多遇到1次红灯为A事件，
则P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

．                                  …（4分）
所以走L₁路线，最多遇到1次红灯的概率为

1

2

．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．  …（5分）
所以P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

3

5

)=

1

10

，P(X=1)=

3

4

×(1-

3

5

)+(1-

3

4

)×

3

5

=

9

20

，P(X=2)=

3

4

×

3

5

=

9

20

．                                   …（8分）
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	1 10	9 20	9 20

所以EX=

1

10

×0+

9

20

×1+

9

20

×2=

27

20

．                                  …（10分）
（Ⅲ）设选择L₁路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B(3，

1

2

)，
所以EY=3×

1

2

=

3

2

．                                                 …（12分）
因为EX＜EY，所以选择L₂路线上班最好．                             …（14分）

点评：本题考查互斥事件的概率与相互独立事件的概率，以及考查离散型随机变量的分布列与数学期望，是一个和实际生活结合比较紧密的问题，此题属于中档题型，是高考命题的趋向．