Question

设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．
（2）根据定积分的定义可得答案．
（3）由题意可得

∫

-t -1

(x2+2x+1)dx=

∫

0 -t

(x2+2x+1)dx，化简得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．

解答：解：（1）∵f′（x）=2x+2   设f（x）=x²+2x+c，
根据f（x）=0有两等根，得△=4-4c=0解得c=1，即f（x）=x²+2x+1；
（2）S=

∫

0 -1

(x2+2x+1)dx=(

1

3

x3+x2+x)

|

0 -1

=

1

3

．
（3）由题意可得

∫

-t -1

(x2+2x+1)dx=

∫

0 -t

(x2+2x+1)dx
即 (

1

3

x3+x2+x)

|

-t -1

=(

1

3

x3+x2+x)

|

0 -t

．
即-

1

3

t3+t2-t+

1

3

=

1

3

t3-t2+t，∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-

1

3 2

．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．