Question

18．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，右焦点F（c，0），过点A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；
（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；
（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x-3），联立直线与椭圆的方程可得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出$\overrightarrow{MF}$、$\overrightarrow{FQ}$的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；
（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m²+3）y²+6my+3=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），结合根与系数的关系分析用y₁．y₂表示出△FPQ的面积，分析可得答案．

解答 解：（1）由$\frac{{\sqrt{{a^2}-2}}}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}⇒a=\sqrt{6}$，
c=ea=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{6}$=2，
则b²=a²-c²=2，
∴椭圆E的方程是$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）证明：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x-3），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（{x-3}）\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，
依题意△=12（2-3k²）＞0，得$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{18{k^2}}}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{27{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$，
∵$F（{2，0}），M（{{x_1}，-{y_1}}），\overrightarrow{MF}=（{2-{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow{FQ}=（{{x_2}-2，{y_2}}）$，
由（2-x₁）y₂-（x₂-2）y₁=（2-x₁）•k（x₂-3）-（x₂-2）•k（x₁-3）=$k[{5（{{x_1}+{x_2}}）-2{x_1}{x_2}-12}]=k（{5•\frac{{18{k^2}}}{{3{k^2}+1}}-2•\frac{{27{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}-12}）=0$，
得$\overrightarrow{MF}∥\overrightarrow{FQ}$，∴M，F，Q三点共线．
（3）设直线PQ的方程为x=my+3．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my+3\end{array}\right.$，得（m²+3）y²+6my+3=0，
依题意△=36m²-12（m²+3）＞0，得${m^2}＞\frac{3}{2}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{{m^3}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{3}{{{m^3}+3}}$．
∴${S_{△FPQ}}=\frac{1}{2}|{AF}|•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{-\frac{6m}{{{m^2}+3}}}）}^2}-\frac{12}{{{m^2}+3}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{12（{2{m^2}-3}）}}{{{{（{{m^2}+3}）}^2}}}}$，
令t=m²+3，则${S_{△FPQ}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{12（{2t-9}）}}{t^2}}=\sqrt{3[{-9{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{9}}）}^2}+\frac{1}{9}}]}$，
∴$\frac{1}{t}=\frac{1}{9}，t={m^2}+3=9$，即${m^2}=6，m=±\sqrt{6}$时，S_△FPQ最大，
∴S_△FPQ最大时直线PQ的方程为$x±\sqrt{6}y-3=0$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键由离心率的公式求出椭圆的方程．