Question

如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，G为DF的中点；
（1）求证：EF⊥平面B₁BDD₁；
（2）求证：EG∥平面AA₁D₁D．

Answer 1

证明：（1）在△A₁B₁C₁中，因为E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，所以EF∥A₁C₁，
因为底面A₁B₁C₁D₁为菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，所以EF⊥B₁D₁，（3分）
因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又因为EF?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥EF；
又B₁D₁∩DD₁=D₁，所以EF⊥平面B₁BDD₁．（7分）
（2）延长FE交D₁A₁的延长线于点H，连接DH，
因为E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，
所以△EFB₁≌△EHA₁，所以HE=EF，
在△FDH中，
因为G、F分别为DF、HF的中点，
所以GE∥DH，（10分）
又GE?平面A₁D₁DA，DH?平面A₁D₁DA，
故EG∥平面AA₁D₁D．（14分）
分析：（1）要证EF⊥平面B₁BDD₁，只需证明直线EF垂直平面B₁BDD₁内的两条相交直线B₁D₁、DD₁即可．
（2）延长FE交D₁A₁的延长线于点H，连接DH，要证EG∥平面AA₁D₁D，只需证明直线EG平行平面AA₁D₁D内的直线DH即可．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．