Question

某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售进行调研，结果如图（1）、（2）所示．其中（1）的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；（2）的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）写出市场的日销售量f（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）先根据题意设f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0求得a值即得日销售量f（t）（2）与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）先写出销售利润为g（t）万元，分类讨论：当30≤t≤40时，当0＜t≤30时，分别研究它们的单调性，而t∈N，故比较g（26），g（27）即可，经计算，g（26）＜g（27），故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大．

解答：解：（1）设f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0可知a=-

3

20

即f(t)=-

3

20

(t-20)2+60=-

3

20

t2+6t（0＜t≤40，t∈N）
（2）设销售利润为g（t）万元，则g(t)=

2t(- 3 20 t2+6t)  (0＜t＜30) 60(- 3 20 t2+6t)  (30≤t≤40)

当30≤t≤40时，g（t）单调递减；
当0＜t≤30时，g′(t)=-

9

10

t2+24t，易知g（t）在(0，

80

3

)单增，(

80

3

，30)单减
而t∈N，故比较g（26），g（27），经计算，
g（26）=2839.2＜g（27）=2843.1，
故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润是2843.1万元．

点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．