(文)已知数列{an}.如果数列{bn}满足b1=a1.bn=an+an-1(n≥2.n∈N*).则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列．(1)若数列{an}的通项为数列an=n.写出数列{an}的“生成数列 {bn}的通项公式,(2)若数列{dn}的通项为数列dn=2n+n.求数列{dn}的“生成数列 {pn}的前n项和为Tn,(3)若数列{cn}的通项� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（文）已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=a_n+a_n-1（n≥2，n∈N^*），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”．
（1）若数列{a_n}的通项为数列a_n=n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；
（2）若数列{d_n}的通项为数列d_n=2ⁿ+n，求数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和为T_n；
（3）若数列{c_n}的通项公式为c_n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是否是等差数列，请说明理由．

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=n，可得b₁=a₁=1，当n≥2时，b_n=a_n+a_n-1=2n-1，即可得出．
（2）由数列d_n=2ⁿ+n，数列{d_n}的“生成数列”，p₁=d₁=3，当n≥2时，p_n=d_n+d_n-1=3×2^n-1+2n-1．可得p_n=

3，n=1

3×2n-1+2n-1，n≥2

，当n=1时，T₁=p₁=3，当n≥2时，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．
（3）l_n=

A+B，n=1

2An+2B-A，n≥2

．当B=0时，l_n=2An-A，l_n+1-l_n=2A，即可判断出．当B≠0时，由于l₁=c₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，判断l₂-l₁与l₃-l₂是否相等即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=n，
∴b₁=a₁=1，当n≥2时，b_n=a_n+a_n-1=n+n-1=2n-1，当n=1时也成立，
∴b_n=2n-1．
（2）由数列d_n=2ⁿ+n，数列{d_n}的“生成数列”，
p₁=d₁=2¹+1=3，当n≥2时，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+（2^n-1+n-1）=3×2^n-1+2n-1．
∴p_n=

3，n=1

3×2n-1+2n-1，n≥2

，
当n=1时，T₁=p₁=3，
当n≥2时，
T_n=3+

3×2(2n-1-1)

2-1

(n-1)(3+2n-1)

=3+3×2ⁿ-6+（n-1）（n+1）
=3×2ⁿ+n²-4．
（3）l_n=

A+B，n=1

2An+2B-A，n≥2

．
当B=0时，l_n=2An-A，l_n+1-l_n=2A，∴数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是等差数列．
当B≠0时，由于l₁=c₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，此时l₂-l₁=2A+B，l₃-l₂=2A，
∵2A≠2A+B，
∴数列{c_n}的“生成数列”{l_n}不是等差数列．
综上可得：当B=0时，数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是等差数列．
当B≠0时，数列{c_n}的“生成数列”{l_n}不是等差数列．

点评：本题考查了新定义“生成数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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