Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

Answer 1

【答案】分析：（1）用点斜式写出直线的方程，由焦点坐标和准线方程求出椭圆的长半轴、短半轴的长，写出椭圆的方程．
（2）将直线方程代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，计算x₁+x_2和x₁x₂的值，利用2个向量数量积公式计算•=0，得到F₁A⊥F₁B，所以点F₁在以线段AB为直径的圆上．
（3）面积最小的圆的半径长应是点F₁到直线l的距离，用点到直线的距离公式求出圆的最小半径．
解答：解：（1）直线l：y=（x+3），
由已知c=2及=3，解得a²=6，
∴b²=6-2²=2．
x²+3y²-6=0，①
∴椭圆方程为+=1．
（2） y=（x+3），②
将②代入①，整理得2x²+6x+3=0．③
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-3，x₁x₂=．
∵•=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=x₁x₂+3（x₁+x₂）+7=0，
∴F₁A⊥F₁B．则∠AF₁B=90°．
∴点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上．
（3）解：面积最小的圆的半径长应是点F₁到直线l的距离，设为r．
∴r==为所求．
点评：本题考查求直线方程、椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系．