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(2009•江苏一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=3-
82n
,设bn=2nan
(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an•bn}中最大项;
(3)求证:对于给定的实数λ,一定存在正整数k,使得当n≥k时,不等式λSn<bn恒成立.
分析:(1)利用递推关系,再写一式,两式相减,可得2nan-2n-1an-1=4,利用bn=2nan,即可证明数列{bn}是等差数列,从而求出数列{an}的通项公式;
(2)确定数列{an•bn}的通项,从而可得数列的单调性,即可求最大项;
(3)利用错位相减法求数列的和,确定相应的值域,即可证得结论.
解答:(1)证明:∵an+Sn=3-
8
2n

∴n≥2时,an-1+Sn-1=3-
8
2n-1

两式相减可得2an-an-1=
8
2n-1
-
8
2n

2an-an-1=
4
2n-1

2nan-2n-1an-1=4
bn=2nan
∴bn-bn-1=4
∵n=1时,a1+S1=3-
8
21
,∴a1=-
1
2

b1=21a1=-1
∴数列{bn}是以-1为首项,4为公差的等差数列
bn=4n-5,an=
4n-5
2n

(2)解:an•bn=
(4n-5)2
2n

令f(n)=
(4n-5)2
2n
,则
f(n+1)
f(n)
=
(4n-1)2
2(4n-5)2

(4n-1)2
2(4n-5)2
<1,则16n2-72n+49>0
∴n>5时,
f(n+1)
f(n)
<1,n<5时,
f(n+1)
f(n)
>1
∴数列从第一项到第四项,单调递增,从第五项开始,单调递减
所以最大项是第四项
121
16

(3)证明:∵an=
4n-5
2n

∴数列{an}的前n项和为Sn=(-1)×
1
2
+
1
22
+…+(4n-5)×
1
2n

1
2
Sn=(-1)×
1
22
+…+(4n-9)×
1
2n
+(4n-5)×
1
2n+1

两式相减可得
1
2
Sn=(-1)×
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
-(4n-5)×
1
2n+1

∴Sn=3-(4n+3)×
1
2n

∴S1=-
1
2

∴Sn的值域[-
1
2
,3),
∵bn=4n-5,∴bn的值域[-1,+∞),
∴对于给定的实数λ,一定存在正整数k,使得当n≥k时,不等式λSn<bn恒成立.
点评:本题考查等差数列的证明,考查数列的通项与求和,考查数列的单调性,考查学生分析解决问题的能力,能力要求强,有难度.
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