Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离．
（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=，底面ABCD是矩形，我们易求出棱锥V_P-BCD的体积，再根据V_P-BCD=V_C-PBD，我们只要求出△PBD的面积，然后代入棱锥体积公式，即可求出点C到平面PBD的距离．
（II）以A为原点，分别以AB，AD，AP为X，Y，Z轴的正方向建立空间坐标系，则我们易给出各个点的坐标，进而求出CQ的方向向量和平面PBD的法向量，然后根据CQ的方向向量和平面PBD的法向量的夹角的余弦值等于CQ与平面PBD所成的角的正弦值，构造方程，即可求出Q的坐标．
解答：解：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．（1分）
∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=（2分）
设C到面PBD的距离为d，由V_P-BCD=V_C-PBD，
有，
即，（4分）
得（5分）

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
因为Q在DP上，所以可设，（6分）
又∵，
∴Q（0，2-2λ，2λ），∴．（8分）
易求平面PBD的法向量为，（10分）
所以设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有：=（12分）
所以有，，∵0＜λ＜1，∴（13分）
所以存在且（14分）
点评：本题考查的知识点是空间点、线、面的距离计算，及直线与平面所成的解，（I）中利用V_P-BCD=V_C-PBD，是解答的关键，（II）中求出直线与平面的方向向量和平面的法向量，将线面夹角的正弦值，转化为两个向量的余弦是解答的关键．