Question

6．将函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• B． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
• C． [kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）
• D． [kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位，得到
g（x）=2sin（2x+2φ-$\frac{π}{6}$）．
∵g（x）≤|g（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，
∴g（$\frac{π}{6}$）=±1，即2sin（2×$\frac{π}{6}$+2φ-$\frac{π}{6}$）=±1，
∴φ=kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+π]，（k∈Z）
则x∈[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，函数图象的平移变换问题，及函数单调区间问题，属于基础题型．