Question

已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当x≥0时，y²＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式－|x|＝1，化简得y²＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y²＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为0，可以设为k，则l₁的方程为y＝k(x－1)，联立得k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0，接着设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是上述方程的两个实根，于是x₁＋x₂＝2＋，x₁x₂＝1．而l₁⊥l₂，则l₂的斜率为－，设D(x₃，y₃)，E(x₄，y₄)，则同理可得x₃＋x₄＝2＋4k²，x₃x₄＝1，利用坐标表示出，化简得=8＋4(k²＋)≥8＋4×2＝16，故当且仅当k²＝，即k＝±1时，取最小值16.

试题解析：（Ⅰ）设动点P的坐标为(x，y)，由题意有

－|x|＝1，

化简，得y²＝2x＋2|x|．

当x≥0时，y²＝4x；当x＜0时，y＝0．

∴动点P的轨迹C的方程为y²＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．

（Ⅱ）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为0，设为k，则l₁的方程为y＝k(x－1)．

由得k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是上述方程的两个实根，于是

x₁＋x₂＝2＋，x₁x₂＝1．

∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率为－．

设D(x₃，y₃)，E(x₄，y₄)，则同理可得x₃＋x₄＝2＋4k²，x₃x₄＝1．

故＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·

＝||||＋||||

＝(x₁＋1)(x₂＋1)＋(x₃＋1)(x₄＋1)

＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1＋x₃x₄＋(x₃＋x₄)＋1

＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k²)＋1

＝8＋4(k²＋)≥8＋4×2＝16．

当且仅当k²＝，即k＝±1时，取最小值16．

考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.