Question

已知A（3，

3

），O是原点，点P的坐标为（x，y）满足条件

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，则z=

OA • OP

| OP |

的取值范围是

[-3，3]

．

Answer 1

分析：由已知，z即为

OA

在

OP

上的投影．先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求范围．只需求出向量

OA

和

OP

的夹角的余弦值的取值范围，从而得到z的取值范围．

解答：解：z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|•cos∠AOP=2

3

cos∠AOP，
∵∠AOP∈[

π

6

 ， 

5π

6

]，
∴当 ∠AOP=

π

6

时，zmax=2

3

cos

π

6

=3，
当 ∠AOP=

5π

6

时，zmin=2

3

cos

5π

6

=-3，
∴z的取值范围是[-3，3]．
故答案为：[-3，3]．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．