Question

已知函数,且 

(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；

（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(),  ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）

Answer 1

略

解析:

解法1

(Ⅰ)依题意,得

由.

从而

令

①当a>1时,

当x变化时，与的变化情况如下表：

x
	+	－	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R

③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.

(Ⅱ)由得令得

由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。

观察的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；

③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－=0时，解得

直线MP的方程为

令

当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。

当时，.

所以存在使得

即当MP与曲线有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为

解法2：

（1）同解法一.

（2）由得，令，得

由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()

 (Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.

又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.

等价于         即

又因为,所以m 的取值范围为(2,3)，从而满足题设条件的r的最小值为2.