Question

已知点P₁(x₀,y₀)为双曲线(b为正常数)上任一点,F₂为双曲线的右焦点,过P₁作右准线的垂线,垂足为A,连接F₂A并延长交y轴于点P₂.

 (1)求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程;

(2)设轨迹E与x轴交于B,D两点,在E上任取一点Q(x₁,y₁)(y₁≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.

Answer 1

(1)由已知得F₂(3b,0),A(,y₀),

则直线F₂A的方程为,

令x=0得y=9y₀,即P₂(0,9y₀).

设P(x,y),则

即

代入,得,

即P的轨迹E的方程为.

 (2)在中,

令y=0得x²=2b²,则不妨设B(,0),D(,0),

于是直线QB的方程为,

直线QD的方程为,

可得M(0,),N(0,),

则以MN为直径的圆的方程为x²+()()=0,

令y=0得,

而Q(x₁,y₁)在上,

则,

于是x=±5b,

即以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).