Question

已知
（1）求f（x）的定义域；
（2）是否存在实数a使得函数f（x）对于区间（2，+∞）上的一切x都有f（x）≥0？

Answer 1

解：（1）由题意知函数的自变量要满足4-a^x＞0
∴a^x＜4
两边取对数，针对于底数与1的关系进行讨论，
a＞1时，定义域（-∞，log_a4]；
0＜a＜1时，定义域[log_a4，+∞）
（2）不存在．
∵当a＞1时，定义域（-∞，log_a4]；
对于区间（2，+∞）上的一切x，
只有1＜a＜2，两个范围才有公共部分，
当1＜a＜2时，自变量为（2，log_a⁴]

两边平方后移项整理成最简形式，
（a^x+1）²≥16，
∴a^x+1≥4
∴a^x≥3
∵a^x是一个增函数，
∴只要a²≥3恒成立即可，
而当1＜a＜2时，不恒成立，
同理可得当0＜a＜1时，也不存在a，使得式子恒成立，
故总上可知不存在这样的a．
分析：（1）由题意知函数的自变量要满足4-a^x＞0，移项后，两边取对数，针对于底数与1的关系进行讨论，根据指数函数的性质，得到当a取值不同时，对应的自变量不同，分别写出结果．
（2）根据函数的底数不同，所得到的定义域，求出定义域与所给的自变量的范围的公共部分，把不等式变形，移项，两边平方，整理出最简形式，根据恒成立思想，得到不存在满足条件的a的值．
点评：本题考查指数函数的定义域，考查函数的恒成立问题，考查指数函数的单调性，是一个综合题目，这种题目考查的内容比较全面，可以作为解答题目出现在高考卷中．