Question

平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点X为直线OP上的一动点.

(1)当·取最小时,求的坐标;

(2)当点X满足(1)的条件和结论时,求∠AXB的余弦值.

Answer 1

思路解析:此题主要考查向量的坐标表示、共线向量的条件、二次函数的最值条件及向量的夹角的求法,是一道综合性题目.要先设出的坐标(x,y),注意向量的起点在原点,也就是点X的坐标,根据点X为直线OP上的一动点得出点X的两坐标的关系,再由·得出关于y的二次函数,求出最小值时的y,进而求得.在(1)的基础上利用夹角公式可以求出∠AXB的余弦值.

解:(1)设=(x,y),∵点X在直线OP上,故与共线.又=(2,1),∴x-2y=0,即x=2y.∴=(2y,y).

又=-=(1-2y,7-y),=-=(5-2y,1-y),

∴·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)²-8.

∴当y=2时,( ·)_min=-8,此时=(4,2).

(2)当=(4,2)时,=(-3,5),=(1,-1),||=,||=.

∴·=(-3)×1+5×(-1)=-8.

∴cos∠AXB==.