Question

（2011•延庆县一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M是AP的中点．
（Ⅰ）求证AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线DM与PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 连接BD，设Q是AD的中点，连接PQ，BQ，通过证明AD⊥平面PBQ，证出AD⊥PB；
（Ⅱ）平面PDA⊥平面ABCD∴PQ⊥平面ABCD以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解．
（Ⅲ） 利用平面APD的法向量与平面PBD的法向量的夹角求二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ） 连接BD，
∵ABCD是菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形   …（1分）
设Q是AD的中点，连接PQ，BQ，则BQ⊥AD，
∵△APD是等腰直角三角形
∴PQ⊥AD…（2分）
∵PQ∩BQ=Q…（3分）
∴AD⊥平面PBQ，
∴AD⊥PB…（4分）
（Ⅱ）∵平面PDA⊥平面ABCD
∴PQ⊥平面ABCD
以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系          …（5分）
则D（-1，0，0），M（

1

2

，0，

1

2

），P（0，0，1），B（0，

3

，0）
∴

DM

=(

3

2

，0，

1

2

)

，& PB

=(0，

3

，-1)…（7分）
∴cos＜

DM

，

PB

＞=

DM • PB

| DM | |PB|

=

10

20

异面直线DM与PB所成角的余弦值为

10

20

…（9分）
（Ⅲ）∵BQ⊥平面APD
∴平面APD的法向量为

m

=(0，0，1)…（10分）
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)
∵

DB

=(1，

3

，0)，

DP

=(1，0，1)
∴

n

×

DB

=0，

n

×

DP

=0，
∴x+

3y

=0，x+z=0，
令x=1，可得：

n

=(1，-

3

3

，-1)…（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

7

7

由图形可知，二面角A-PD-B为锐角，
∴二面角A-PD-B的余弦值为

7

7

…（14分）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．但要注意有关点及向量坐标的准确性．