Question

在△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为

17

，求最小边的边长．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根据tanC=-tan（A+B），利用两角和的正切公式求出结果．
（Ⅱ）根据C=

3

4

π，可得AB边最大为

17

，又tanA＜tanB，A，B∈(0，

π

2

)，所以∠A最小，BC边为最小边，
求出sinA的值，由正弦定理求得BC的值．

解答：解：（Ⅰ）∵C=π-（A+B），∴tanC=-tan(A+B)=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1．--------------2'
又∵0＜C＜π，∴C=

3

4

π．------------------4'
（Ⅱ）∵C=

3

4

π，∴AB边最大，即AB=

17

．--------------------------6'
又tanA＜tanB，A，B∈(0，

π

2

)，
所以∠A最小，BC边为最小边．-------------------------8'
由

tanA= sinA cosA = 1 4 sin2A+cos2A=1

且A∈(0，

π

2

)，
得sinA=

17

17

．--------------------------------10'
由

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=

ABsinA

sinC

=

2

．
所以，最小边BC=

2

．----------------------------12'

点评：本题考查两角和的正切公式，正弦定理以及根据三角函数的值求角，判断∠A最小，BC边为最小边，是解题的关键．