Question

在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=

1

4

x²．实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）过点，A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

2

；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，

1

4

p

2 1

），E′（p₂，

1

4

p₂²），l₁，l₂与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=

|p1|

2

．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

1

4

（x+1）²-

5

4

}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φ_min）和最大值（记为φ_max）

Answer 1

分析：（1）求导，写出过点A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；
（2）求出过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，根据φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}，比较

|p1|

2

、|a-

p1

2

|、

|p2|

2

、|a-

p2

2

|的大小，即可证得结论；
（3）联立y=x-1，y=

1

4

（x+1）²-

5

4

求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题．

解答：解：（1）k_AB=y′|_x=p0=

1

2

p₀，
直线AB的方程为y-

1

4

p₀²=

1

2

p₀（x-p₀），即y=

1

2

p₀x-

1

4

p₀²，
∴q=

1

2

p₀p-

1

4

p₀²，方程x²-px+q=0的判别式△=p²-4q=（p-p₀）²，
两根x_1，2=

p±|p0-p|

2

=

p0

2

或p-

p0

2

，
而|p-

p0

2

|=||p|-|

p0

2

||，又0≤|p|≤|p₀|，
∴-|

p0

2

|≤|p| -|

p0

2

|≤|

p0

2

|，得|p-

p0

2

|=||p|-|

p0

2

||≤|

p0

2

|，
∴φ（p，q）=

|p0|

2

；

（2）由a²-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p₁＞p₂≥0，
得|p₁|＞|p₂|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p₁＞0＞p₂，
且|p₁|＞|p₂|；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
综上所述，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．   （*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x²-ax+b=0的两根x_1，2=

p0

2

或a-

p0

2

，
同理知点M在直线E′F′上，方程x²-ax+b=0的两根x_1，2=

p0

2

或a-

p0

2

，
若φ（a，b）=

|p1|

2

，则

|p1|

2

不比|a-

p1

2

|、

|p2|

2

、|a-

p2

2

|小，
∴|p₁|＞|p₂|；又|p₁|＞|p₂|?M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=

|p1|

2

?M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X?φ（p，q）=

|p1|

2

；
∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=

|p1|

2

，综合（*）式，得证．

（3）联立y=x-1，y=

1

4

（x+1）²-

5

4

得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x₀，

1

4

x₀²），则

1 4 x02-q

x0-q

=

1

2

x0，
得x₀²-2px₀+4q=0，解得x₀=p+

p2-4q

，
又q≥

1

4

（p+1）²-

5

4

，即p²-4q≤4-2p，
x₀≤p+

4 -2p

，设

4 -2p

=t，x₀≤-

1

2

t2+t+2=-

1

2

(t-1)2+

5

2

≤

5

2

，
∴φ_max=

5

4

；
而x₀≥p+

p2-4p+4

=p+|p-2|=2，
∴φ_min=

|x0|

2

=1．

点评：此题是个难题．本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．