Question

如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足
,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在
平面上的射影恰好在上．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）先证（2）

试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，           
因为平面，平面，所以平面
⑵解法1、
如图,在图乙中作，垂足为，连接，
由于平面，则，                      
所以平面，则，                      
所以平面与平面所成二面角的平面角，     
图甲中有，又，则三点共线，     
设的中点为，则，易证，所以，，；
又由，得，            
于是，，                                
在中，，即所求二面角的余弦值为．


解法2、
如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，                                                
所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，                                                     
设的中点为，则，易证，所以，则；
又由，得，               
于是，，
在中，       
作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则 
显然，是平面的一个法向量，           
设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则，                                       
设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，
平面与平面, 所成二面角的余弦值为．                                                      
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于
中档题．