Question

设x∈R，则函数f（x）=

x2+1

+

(x-12)2+16

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：将问题转化为x轴上一点P（x，0）到两定点M（0，1），N（12，-4）的距离之和，即f（x）=|PM|+|PN|，从而解决问题．

解答： 解：易知，函数f（x）=

x2+1

+

(x-12)2+16

=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-12)2+(0+4)2

的几何意义即：
使x轴上的一点P（x，0）到两定点M（0，1），N（12，-4）的距离之和，即f（x）=|PM|+|PN|．
由“线段最短”及数形结合可知，当点P，M，N共线时，|PM|+|PN|最小=|MN|=13．
∴f（x）min=13，
故答案为：13．

点评：本题考查了函数的值域问题，考查转化思想，是一道中档题．