Question

给定下列命题：
①函数y=sin(

π

4

-2x)的单增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②已知|

a

|=|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为

π

3

，则

a

+

b

在

a

上的投影为3；
③函数y=f（x+1）与y=f^-1（x）-1的图象关于直线x-y=0对称；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则f(

3π

2

-x)=-f(x)；
则真命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：①根据诱导公式进行化简，再由正弦函数的单调性可求其单调增区间，进而判断①为假命题；
②利用向量投影的概念，计算可得结论；
③判断函数y=f（x+1）与y=f^-1（x）-1互为反函数即可；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则函数关于直线x=

π

4

对称，不妨设函数解析式为f（x）=

a2+b2

sin(x-

3

4

π)，即可得到结论．

解答：解：①y=sin(

π

4

-2x)=-sin(2x-

π

4

)，由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3

2

π+2kπ，可得x∈[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

](k∈Z)为函数的单调递增区间，故①为假命题；
②

a

+

b

在

a

上的投影为

( a + b )• a

| a |

=

4+4cos π 3

2

=3，故②正确；
③由函数y=f（x+1）可得x=f^-1（y）-1，再将x，y互换可得y=f^-1（x）-1，故函数y=f（x+1）与y=f^-1（x）-1的图象关于直线x-y=0对称，即③正确；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则函数关于直线x=

π

4

对称，不妨设函数解析式为f（x）=

a2+b2

sin(x-

3

4

π)，
∴f(

3π

2

-x)=-f(x)，即④正确．
故真命题的序号为：②③④

点评：本题考查命题真假的判断，考查函数的单调性，考查向量知识，考查三角函数的性质，综合性强．