Question

14．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD，AA₁与底面ANCD所成角为θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），∠ADC=2θ
（1）求证：平面六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=4sin²θ，并求V的取值范围；
（2）若θ=45°，求二面角A-A₁C-D所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V的取值范围，先求底面面积，再求高，根据题意中θ的取值即可证明平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=4sin²θ．由三角函数性质能求得体积范围．
（2）分别以DA，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-A₁C-D所成角的大小．

解答 证明：（1）∵在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD
AA₁与底面ANCD所成角为θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），∠ADC=2θ，
∴∠A₁AD=θ，A₁D⊥AD，tan∠A₁AD=$\frac{{A}_{1}D}{AD}$=AD，
∴由已知，有DA₁=tanθ，
由面积公式，四边形ABCD的面积为：
S_{四边形ABCD}=2S_△ADC=2×（$\frac{1}{2}×AD×DC×sin∠ADC$）=2sin∠ADC=2sin2θ，
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=S_{四边形ABCD}×A₁D=2sin2θ×tanθ=4sin²θ．
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴0＜4sin²θ＜4，
∴平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V的取值范围为（0，4）．
解：（2）∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD，
分别以DA，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
A（1，0，0），D（0，0，0），A₁（0，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），
设平面AA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设c二面角A-A₁C-D所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴二面角A-A₁C-D所成角的大小为arccos$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平行六面体体积公式的证明及取值范围的求法，考查二面角大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．