Question

已知函数
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ） 讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ） 解不等式f（2x）＞f^-1（x）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，a^x＞1=a⁰，因为0＜a＜1，所以x＜0，
即f（x）的定义域为{x|x＜0}…（2分）
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上是单调递增的．…（4分）
令函数u（x）=a^x-1，
因为0＜a＜1
所以u（x）=a^x-1在（-∞，0）上是单调递减的，
又因为g（x）=log_ax也是单调递减的，
由复合函数的单调性知，
复合函数f（x）=g（u（x））在（-∞，0）上是单调递增的．…（8分）
（Ⅲ）由题知，x∈R…（10分）
于是不等式f（2x）＞f^-1（x）等价为a^2x-1＜a^x+1即：（a^x-2）（a^x+1）＜0
从而，所以x＞log_a2，又须2x＜0，
综上，原不等式的解集为{x|log_a2＜x＜0}…（12分）
分析：（Ⅰ）对数函数的定义域为真数大于0，由此可求f（x）的定义域；
（Ⅱ）令函数u（x）=a^x-1，从而可知u（x）=a^x-1在（-∞，0）上是单调递减的，又因为g（x）=log_ax也是单调递减的，由复合函数的单调性，可得f（x）的单调性．…（8分）
（Ⅲ）由题知，从而不等式f（2x）＞f^-1（x）等价为a^2x-1＜a^x+1，从而可求不等式的解集．
点评：本题以对数函数为载体，考查对数函数的定义域，考查复合函数的单调性，同时考查不等式的解法，考查学生等价转化问题的能力．