Question

16．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则双曲线离心率的取值范围是$\sqrt{3}$＞e≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设焦点为F（c，0），设直线AB：y=k（x-c），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得k，即可得到离心率的范围．

解答 解：直线的斜率不存在时，A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
焦点为F（c，0），直线AB：y=k（x-c），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则联立直线方程和双曲线的方程，可得
（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²k²c²-a²b²=0，
则△=4c²a⁴k⁴+4（b²-a²k²）（a²k²c²+a²b²）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-2c{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
则y₁y₂=k²（x₁x₂+c²-c（x₁+x₂））=k²•$\frac{{a}^{2}{b}^{2}-{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-{b}^{2}}$，
由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，
即有a²b²+a²k²c²+k²（a²b²-b²c²）=0，
即有k²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{4}-{a}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{4}-{a}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}}$＞$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵b＞a，∴$\sqrt{3}$＞e＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为$\sqrt{3}$＞e≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，考查运算能力，属于中档题和易错题．