Question

17．设x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，求①μ=x²+y²，求最大值和最小值；②μ=$\frac{y}{x-5}$，求最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
①μ=x²+y²的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知μ=x²+y²的最小值为0，
OA的值最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y+5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（3，8），
此时μ=3²+8²=9+64=73；
②μ=$\frac{y}{x-5}$的几何意义是区域内的点到定点D（5，0）的斜率，
由图象知AD的斜率最小，此时k=$\frac{8}{3-5}=\frac{8}{-2}$=-4，
AD的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即C（3，-3）
此时k=$\frac{-3}{3-5}=\frac{-3}{-2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式以及直线的斜率公式是解决本题的关键．