Question

求证：

n	n!

≤

(n+1)(n+2)

6

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：检验n=1时，不等式显然成立，当n＞1，n∈N时，由n元均值不等式可得，

1+2+3+…+n

n

＞

n	1•2•3…n

，运用求和公式和阶乘的概念，即得

n+1

2

＞

n	n!

，再由

(n+1)(n+2)

6

-

n+1

2

，化简整理，即可得证．

解答： 证明：当n=1时，不等式左边为1，右边为

2×3

6

=1，
则有

n	n!

=

(n+1)(n+2)

6

；
当n＞1，n∈N时，
由于

1+2+3+…+n

n

＞

n	1•2•3…n

，
即有

n(n+1)

2n

＞

n	n!

，即

n+1

2

＞

n	n!

，
又

(n+1)(n+2)

6

-

n+1

2

=

(n+1)(n-1)

6

，
则

(n+1)(n+2)

6

＞

n+1

2

，
则有

n	n!

＜

(n+1)(n+2)

6

．
综上，可得

n	n!

≤

(n+1)(n+2)

6

．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用n元均值不等式，证明不等式，考查推理能力，属于中档题．