Question

A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须
乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：

运行区间		公布票价		学生票
上车站	下车站	一等座	二等座	二等座
A	B	81（元）	68（元）	51（元）

（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？

Answer 1

分析：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）有两种情况：①当180≤x＜210时，学生都买学生票共180张，（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②当0＜x＜180时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张，得到解析式是y=-30x+17010；
（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=-13x+13950和当0＜x＜180时，y=-30x+17010，分别讨论即可．

解答：解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：

81(3m+n)=17010 68×3m+51n=11220

，
解得

m=10 n=180

，则2m=20．
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人．
（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），
即y=-13x+13950（180≤x＜210）；
②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51x+81（210-x），即y=-30x+17010（0＜x＜180）
（3）由（2）小题知，
当180≤x＜210时，y=-13x+13950，由此可见，当x=209时，y的值最小，最小值为11233元，当x=180时，y的值最大，最大值为11610元．
当0＜x＜180时，y=-30x+17010，由此可见，当x=179时，y的值最小，最小值为11640元，当x=1 时，y的值最大，最大值为16980元．
∴可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．