Question

已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线C上的一点，且的外接圆圆心到准线的距离为．

（I）求抛物线C的方程；

（II）若圆F的方程为，过点P作圆F的2条切线分别交轴于点，求面积的最小值时的值．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）先求圆心纵坐标，再由圆心到准线的距离，可求的值，从而得抛物线的方程；（II）先设过点斜率存在的直线方程，根据直线与圆相切，可得两切线的斜率关系，然后得两点坐标，可得，然后再求三角形PMN的面积，再利用导数判断面积的单调性而求最小值，再得的值.

试题解析：（I）的外接圆的圆心在直线OF，FP的中垂线交点上，且直线OF的中垂线为直线，则圆心的纵坐标为，                   1分

故到准线的距离为.          2分

从而p=2，即C的方程为.                  5分

（II）设过点P斜率存在的直线为，则点F(0，1)到直线的距离

。                7分

令d=1，则，所以。

设两条切线PM，PN的斜率分别为，则

，，             9分

且直线PM：，直线PN：，故，

因此  11分

所以               12分

设，则

令，则 .

在上单点递减，在上单调递增，因此

从而，此时．  15分

考点：1、抛物线的方程及性质；2、直线与圆的位置关系；3、直线与抛物线相交及与导数的综合应用