Question

已知某企业原由工人500人，每人每年可为企业创利润6万元，为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有工人的10%，并且每年给每位待岗工人发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗工人的人数x不超过原有工人数的5%时，留岗工人每人每年可为企业多创利润 万元，当待岗员工人数x超过原有员工的5%，时，留岗员工每人每年可为企业多创利润1万元．
（Ⅰ）试用x表示企业年利润y的函数关系式；
（Ⅱ）为使企业年利润y最大，求应安排多少工人待岗？

Answer 1

解：（I）设重组后，该企业年利润为y万元．
当待岗人员不超过5%时，由＞0，x≤500×5%=25，得1≤x≤25（x∈N），
则y=（500-x）（6+）-0.5x
=（500-x）（7-）-0.5x （1≤x≤25（x∈N））
当待岗人员超过5%且不超过10%时，由25＜x≤500×10%，得26≤x≤50（x∈N），
则y=（500-x）（6+1）-0.5x=7（500-x）-0.5x（26≤x≤50（x∈N））
∴，x∈N⁺
（II）当1≤x≤25且x∈N时，有
y=-7.5（x+）+3500.9，
当x=时取最小，而不是整数，故取x=8时y取得最大值，最大值是3384.65万元；
当26≤x≤50且x∈N时，函数y=-7.5x+3500为减函数．
所以y≤-7.5×26+3500=3305．
综上所述，当x=8时，y有最大值3384.65万元．
当x=8 时，年利润y最大，即为使企业年利润y最大，则应安排8名工人待岗！
分析：利用在岗员工人数乘以留岗员工每人每年可为企业多创利；分两段求出企业年利润，得到的是分段函数；利用基本不等式求出第一段函数的最大值；再利用一次函数的单调性求出第二段函数的最小值，从两个最小值中比较出最小值．
点评：本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查求分段函数的最值时分段求再挑出最值中的最值、考查利用基本不等式求函数的最值注意满足的条件：一正、二定、三相等．