Question

已知盒子A中有m个红球与10-m个白球，盒子B中有10-m个红球与m个白球（两个盒子中的球形状、大小都相同）．
（Ⅰ）分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数．
（ⅰ）请写出随机变量ξ的分布规律，并证明Eξ等于定值；
（ⅱ）当Dξ取到最小值时，求m的值．
（Ⅱ）在盒子A中不放回地摸取3个球．事件A：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球．事件B：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若P（A）=P（B），求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由题意可得：ξ表示红球的个数，则ξ可能取的值为：0，1，2，
（i）根据题意分别求出ξ为0，1，2时的概率，即可得到其分布列进而得到其数学期望为定值．
（ii）由（i）并且结合方差的计算公式可得：Dξ=

-(m-5)2+25

50

，并且1≤m≤9，再由二次函数的性质可得答案．
（Ⅱ）根据题意分别求出事件A与事件B方式的概率，利用其相等可得等式，进而求出m的数值．

解答：解：（Ⅰ） 由题意可得：ξ表示红球的个数，则ξ可能取的值为：0，1，2，
（i）根据题意可得：P（ξ=0）=

C 1 10-m C 1 m

C 1 10 C 1 10

=

(10-m)m

100

，P（ξ=1）=

C 1 10-m C 1 10-m + C 1 m C 1 m

C 1 10 C 1 10

=

(10-m)2+m2

100

，P（ξ=2）=

C 1 10-m C 1 m

C 1 10 C 1 10

=

(10-m)m

100

，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	(10-m)m 100	(10-m)2+m2 100	(10-m)m 100

所以Eξ=1×

(10-m)2+m2

100

+2×

(10-m)m

100

=1，
所以Eξ等于定值1．
（ii）由（i）可得：Dξ=

(10-m)m

100

+

(10-m)m

100

=

-(m-5)2+25

50

，并且1≤m≤9，
所以当m=1=9时D_ξ取最小值为：

9

50

．
（Ⅱ）因为事件A：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球，
所以P(A)=

C 1 m C 2 10-m

C 1 m C 2 9

=

(10-m)(9-m)

72

，
又因为事件B：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，
所以P(B)=

C 2 m C 1 10-m

C 1 10-m C 2 9

=

m(m-1)

72

．
因为P（A）=P（B），
所以

(10-m)(9-m)

72

=

m(m-1)

72

，解得：m=5．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等可能事件与相互独立事件的概率公式，以及离散型随机变量的分布列与数学期望，此题由于含有参数因此在解答、计算与理解上都有一定的难度，学生在处理问题时要细心仔细并且正确分析问题即可得到全分，此题属于难题．