Question

函数y=-2x³+3(1-2a)x²+12ax-1在x=α处取极小值，x=β处取极大值，且α²=β.

(1)求a;

(2)求函数的极大值与极小值的和.

Answer 1

解：(1)y′=-6x²+6(1-2a)x+12a=-6(x-1)(x+2a)

    由y′=0,得x=1或x=-2a.

①若α=1,β=-2a,则1²=-2a,a=-

    此时，y′=-6(x-1)²≤0，不存在极值；

②若α=-2a,β=1,则(-2a)²=1得a=或a=-(舍).

    当a=时，x∈(-∞,-1),y′＜0,x∈(-1,1),y′＞0;x∈(1,+∞),y′＜0满足题设条件.

    综合①②,a=(2)由(1)知α=-1,β=1,∴y_极小值=-5.y_极大值=3.

    所以y_极小+y_极大=-2.