Question

用向量方法可以证明：若P为正三角形内切圆上任意一点，则点P到三角形三个顶点距离的平方和为定值．请你针对这个问题进行研究，写出一个推广后的正确命题：

①②③④

．
①若P为正三角形外接圆上任意一点，则点P到三角形三个顶点距离的平方和为定值．
②若正三角形A₁A₂A₃外接圆的圆心为O，半径为R，P为平面上任意一点，则|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2=3|PO|²+3R²．
③若P为正多边形内切圆上任意一点，则点P到各个顶点距离的平方和为定值．
④若P为正多边形外接圆上任意一点，则点P到各个顶点距离的平方和为定值．

Answer 1

分析：先理解用向量法证明命题的证明过程，然后根据类比推理，可以得到推广后的命题．

解答：解：根据 正三角形的性质可知，在正三角形内的任何一点P，则点P到三角形三个顶点距离的平方和为定值．
所以根据类比推理可知：
①若P为正三角形外接圆上任意一点，则点P到三角形三个顶点距离的平方和为定值，正确．
②若正三角形A₁A₂A₃外接圆的圆心为O，半径为R，P为平面上任意一点，则|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2=3|PO|²+3R²，正确．
③若P为正多边形内切圆上任意一点，则点P到各个顶点距离的平方和为定值，正确．
④若P为正多边形外接圆上任意一点，则点P到各个顶点距离的平方和为定值．正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查类比推理的应用，考查学生分析问题的能力，综合性较强，难度较大．