Question

11．已知数列{a_n}是等差数列，且a₁，a₂，a₃是（1+$\frac{1}{2}$x）^m展开式的前三项的系数．
（1）求（1+$\frac{1}{2}$x）^m展开式的中间项；
（2）试比较$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$+…+$\frac{1}{{{a_{2n}}}}$与$\frac{1}{2}$的大小．

Answer 1

分析 （1）由二项式定理和题意求出a₁，a₂，a₃，由等差中项的性质列出方程，求出m的值即可求出展开式的中间项；
（2）由（1）可得a_n=3n-2，令n=1、2、3代入$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$+…+$\frac{1}{{{a_{2n}}}}$化简，判断出与$\frac{1}{2}$的大小猜测出一般结论，利用数学归纳法进行证明，化简当n=k+1时的式子把n=k时的假设代入并进行化简证明结论．

解答 解：（1）因为${（1+\frac{1}{2}x）^m}=1+C_m^1（\frac{1}{2}x）+C_m^2{（\frac{1}{2}x）^2}+…$，
所以依题意得，a₁=1，${a_2}=\frac{1}{2}m$，${a_3}=\frac{m（m-1）}{8}$，
由2a₂=a₁+a₃得，m=1（舍去），或m=8，
所以${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展开式的中间项是第五项为：${T_5}=C_8^4{（\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$；
（2）由（1）知，a_n=3n-2，
当n=1时，$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}=1+\frac{1}{4}＞\frac{1}{2}$，
当n=2时，$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}=\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}=\frac{69}{140}＜\frac{1}{2}$，
当n=3时，$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}=\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}+\frac{1}{a_6}$
=$\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{13}+\frac{1}{16}$$＜\frac{1}{7}+\frac{3}{10}＜\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$，
猜测：当n≥2时$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜$$\frac{1}{2}$，
以下用数学归纳法加以证明：
①n=2时，结论成立，
②设当n=k时，$\frac{1}{a_k}+\frac{1}{{{a_{k+1}}}}+\frac{1}{{{a_{k+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2k}}}}＜\frac{1}{2}$，
则n=k+1时，$\frac{1}{{{a_{（k+1）}}}}+\frac{1}{{{a_{（k+1）+1}}}}+\frac{1}{{{a_{（k+1）+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2（k+1）}}}}$
=$（\frac{1}{a_k}+\frac{1}{{{a_{（k+1）}}}}+\frac{1}{{{a_{（k+1）+1}}}}+\frac{1}{{{a_{（k+1）+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2k}}}}）$$+（\frac{1}{{{a_{2k+1}}}}+\frac{1}{{{a_{2k+2}}}}-\frac{1}{a_k}）$
$＜\frac{1}{2}$$+（\frac{1}{{{a_{2k+1}}}}+\frac{1}{{{a_{2k+2}}}}-\frac{1}{a_k}）$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3（2k+1）-2}+\frac{1}{3（2k+2）-2}-\frac{1}{3k-2}$
=$\frac{1}{2}+\frac{（6k+1）（3k-2）+（6k+4）（3k-2）-（6k+1）（6k+4）}{（6k+1）（6k+4）（3k-2）}$
=$\frac{1}{2}+\frac{（6k+1）（3k-2）+（6k+4）（3k-2）-（6k+1）（6k+4）}{（6k+1）（6k+4）（3k-2）}$
=$\frac{1}{2}+\frac{（6k+1）（3k-2）+（6k+4）（-3k-3）}{（6k+1）（6k+4）（3k-2）}$=$\frac{1}{2}+\frac{-39k-14}{（6k+1）（6k+4）（3k-2）}$$＜\frac{1}{2}$，
综合①②可得，当n=1时，$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＞\frac{1}{2}$，
当n≥2时，$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜$$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差中项的性质，二项式定理，以及数学归纳法的应用，考查化简、变形能力．