Question

设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x₁、x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x²+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x₁、x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

分析：（1）新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义才能答题，对于（1）只需按照定义作差：|f（x₁）-f（x₂）|，然后寻求条件：|x₁+x₂+k|≤1，（2）的解答稍微复杂一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的技巧应用即对已知条件f（0）=f（2）的充分利用．

解答：解：（1）?x₁、x₂∈（-1，1），|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k|×|x₁-x₂|（1分）．
若k≥0，则当x₁、x2∈(

1

2

，1)时，x₁+x₂+k＞（12分），从而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|（3分）；
若k＜0，则当x₁、x2∈(-1，-

1

2

)时，x₁+x₂+k＜-1，|x₁+x₂+k|＞1（4分），
从而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，所以对任意常数k，f（x）=x²+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数（5分）．
（2）若x₁、x₂∈[0，2]，①当|x₁-x₂|≤1时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|≤1（6分）；
②当|x₁-x₂|＞1时，不妨设0≤x₁＜x₂≤2，根据f（x）的周期性，f（0）=f（2）（7分），
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（2）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（2）-f（x₂）|
≤|x₁|+|2-x₂|=x₁+2-x₂=2-（x₂-x₁）＜1（11分），
所以对?x₁、x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1（12分）．
对?x₁、x₂∈R，根据f（x）的周期性（且T=2），存在p₁、p₂∈[0，2]，
使f（x₁）=f（p₁）、f（x₂）=f（p₂），从而|f（x₁）-f（x₂）|=|f（p₁）-f（p₂）|≤1（17分）．

点评：本题抽象函数、新定义函数类型的概念，不等式的性质，放缩法的技巧，对于新定义类型问题，在解答时要先充分理解定义才能答题，避免盲目下笔，遇到困难才来重头读题，费时费力，另外要在充分抓住定义的基础上，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，可现有结论向上追溯，看看需要哪些条件才能得出结果，再来寻求转化取得这些条件．属中档题．