Question

已知C₁的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=1，M，N分别为C₁在直角坐标系中与x轴，y轴的交点．曲线C₂的参数方程为

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

（t为参数，且t＞0），P为M，N的中点．
（1）将C₁，C₂化为普通方程；
（2）求直线OP（O为坐标原点）被曲线C₂所截得弦长．

Answer 1

（1）C₁的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=1，即

2

2

ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴C₁化为普通方程是：C1：x+y-

2

=0；
曲线C₂的参数方程为

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

消去参数t 得：C₂普通方程：y=-x²+2，（4分）．
（2）因为M(

2

，0)，N(0，

2

)∴P(

2

2

，

2

2

)所以直线OP：y=x．（6分）
设直线OP：y=x与C₂：y=-x²+2交于A，B两点
直线OP：y=x与C₂：y=-x²+2联立得：x²+x-2=0，（8分）
∴A（1，1），B（-2，-2），所以|AB|=3

2

．（10分）