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(2012•山西模拟)已知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负根的必要条件是a≤m,求m的取值范围.
分析:经检验a=0 或a<0时,满足条件.当a>0时,由根与系数的关系可得方程若有跟,则两根都是负根,
而方程有根的条件是△≥0,解得 1≥a>0,综合得方程至少有一负根的必要条件是a≤1.而已知方程至少有一负根的必要条件是a≤m,故m≥1.
解答:解:当a=0时,关于x的方程为2x+1=0,解得x=-
1
2
,满足条件.
当a<0时,判别式△=4-4a>0,x1x2=
1
a
<0,此时方程有且仅有一个负根,满足条件.
当a>0时,∵
x1+x2= -
2
a
<0
x1x2
1
a
>0
,故方程若有跟,则两根都是负根.
而方程有根的条件是△=4-4a≥0,解得 1≥a>0.
综上可得,方程至少有一负根的必要条件是a≤1.
而已知方程至少有一负根的必要条件是a≤m,故m≥1,即 m的取值范围为[1,+∞).
点评:本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
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1
2
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2

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