Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

Answer 1

分析 （1）先证明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）利用三角形中位线的性质，证明A₁B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；
（3）利用等体积转化法求解三棱锥C₁-A₁CD的体积即可．

解答 （1）证明：AC∩AB=A，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
AC∩AB=A，
AC，AB?平面ABC，∴AA₁⊥平面ABC．
∵AA₁∥CC₁，∴CC₁⊥平面ABC，∴平面平面BB₁C₁C⊥平面ABC，…（2分）
∴平面平面BB₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁，D是B₁C₁中点，AB=AC=1，
∴A₁D⊥B₁C₁
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C；…（5分）
（2）证明：连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD，
因为ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁中点，
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，
所以A₁B∥OD，…（6分）
因为OD?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（3）由（1）可知A₁A三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高   …（9分）
侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，${V_{{C_1}-{A_1}CD}}={V_{C-{A_1}{C_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{C_1}D}}•C{C_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1=\frac{1}{12}$…（10分），
即三棱锥C₁-A₁CD的体积为：$\frac{1}{12}$．…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．