Question

某地区现有居民住房的总面积am²，其中需要拆除的旧住房面积占了住房总面积的50%，当地政府决定，在每年拆除一定数量旧房的情况 下，仍以10%的住房增长率建设新房．
（Ⅰ）若10年后该地区的住房总面积恰好比目前翻一翻，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？（计算参考数据1.1¹⁰≈2.6）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少（保留小数点后面1位）
（重点校做，普通校选做）

Answer 1

解：（I）设每年应拆除旧房面积为xm²，一年后住房面积为：a-x+10%a=1.1a-x
二年后住房面积为：（1.1a-x）（10%+1）-x=1.1²a-（1.1+1）x
三年后住房面积为：[1.1²a-（1.1+1）x]×（1+10%）-x=1.1³a-（1.1²+1.1+1）x
…
10年后住房总面积为：1.1¹⁰a-（1.1⁹+1.1⁸+…+1）x
由题知1.1¹⁰a-（1.1⁹+1.1⁸+…+1）x=2a
即2.6a-2a=（1+1.1+…+1.1⁹）x
∴
即
∴x=
即每年应拆除的旧住房面积为m²
（II） ≈6.3%
∴在（Ⅰ）的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%
分析：（I）利用一年后、二年后找规律得到10年后的住房面积，然后根据10年后该地区的住房总面积恰好比目前翻一翻建立等式，解之即可；
（II）先求出在（Ⅰ）的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积，以及当时住房总面积，两值相除即可求出所求．
点评：本题主要考查了数列的应用题，同时考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．