Question

已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = ，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。

（1）求证：MN⊥EA；
（2）求四棱锥M – ADNP的体积。

Answer 1

（1）利用线面垂直的性质定理来证明线线垂直，主要是对于的证明。（2）1

试题分析：解：方法一：
（Ⅰ）取中点，连接，

又平面，平面，
又又平面
，

（Ⅱ）过作于，连接
平面，
又平面，
又
平面
，又，
平面，
二面角为二面角的平面角
在中，

  二面角的余弦值为
方法二：
（Ⅰ）平面平面，
平面平面，
过作平面，则
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系



，

（Ⅱ），，设为平面的一个法向量
为满足题意的一组解
，，设为平面的一个法向量
，为满足题意的一组解， 
 二面角的余弦值为
点评：解决的关键是利用向量的数量积公式以及线面垂直的性质定理得到证明，属于基础题。