Question

已知F、E分别是抛物线Y²=4x的焦点及准线与x轴的交点，M是曲线C上的任意一点，且满足|

ME

|+|

MF

|=4．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）过点（

3

2

，0）作直线l与曲线C交于A、B两点．设

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线L，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线L的方程，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意知，点E，F的坐标分别是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，又|

ME

|+|

MF

| =4＞2，轨迹C是以E、F为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2，由此能求出轨迹C的方程．
（II）假设存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，直线l过点（

3

2

，0），当直线l⊥x轴时，其方程为x=

3

2

，此时l与椭圆的两个交点为A(

3

2

，

21

4

)  ，B(

3

2

，-

21

4

)，由

OA

•

OB

≠0，OA与OB不垂直，故不存在这样的直线L．

解答：解：（I）由题意知，点E，F的坐标分别是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，
又|

ME

|+|

MF

| =4＞2，
∴轨迹C是以E、F为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，b²=3，
∴轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）假设存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，
∵直线l过点（

3

2

，0），当直线l⊥x轴时，其方程为x=

3

2

，
此时l与椭圆的两个交点为A(

3

2

，

21

4

)  ，B(

3

2

，-

21

4

)，∴

OA

•

OB

≠0，
∴OA与OB不垂直，∴x=

3

2

不合题意．
当直线l不垂直于x轴时，设AB的方程为y=k（x-

3

2

），A（x₁，y₁），B坐标为（x₂，y₂）；
联立y=k（x-

3

2

）与

x2

4

+

y2

3

=1可得，

x2

4

+

k2(x- 3 2 )2

3

=1，
若四边形OAPB是矩形，必有x₁x₂+y₁y₂=0，
易得不存在k的值满足，
故不存在这样的直线L．

点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．