Question

2．给出下列命题：
①f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-4}$既是奇函数．又是偶函数；
②f（x）=x和f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$为同一函数；
③已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）在 （0，+∞）上单调递增，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
④函数y=$\frac{1-3x}{1+x}$的值域为{y|y∈R且y≠-3}．
其中正确命题的序号是①④．

Answer 1

分析 由函数的解析式分析出函数f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-4}$的定义域，进而得到函数的图象，结合奇偶函数图象的对称性，可判断①的真假；
根据两个函数的定义域不一致，结合同函数的定义，可判断②的真假；
举出反例f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-1，x＞0}\end{array}\right.$，可以判断③的真假；
函数y=$\frac{1-3x}{1+x}$=-3+$\frac{4}{1+x}$≠-3，可判断④的真假．

解答 解：①f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-4}$的定义域为{-2，2}，其图象是点（-2，0）和（2，0），即关于原点对称也关于y轴对称，故f（x）既是奇函数，又是偶函数，即①正确；
②f（x）=x的定义域为R，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$的定义域为{x|x≠0}，故两者不为同一函数，故②错误；
③已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）在 （0，+∞）上单调递增，在 （-∞，0）上单调递增，但f（x）在（-∞，+∞）上不一定为增函数，比如f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-1，x＞0}\end{array}\right.$，错误；
④函数y=$\frac{1-3x}{1+x}$=-3+$\frac{4}{1+x}$≠-3值域为{y|y∈R且y≠-3}，正确．
故答案为：①④

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，同一函数的定义，函数的单调性，函数的值域等，其中③的求解难度稍大．