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    （1）已知z的共轭复数是
    .
    z
    ，且z•
    .
    z
    -3i•z=
    10
    1-3i
    ，求z．
    （2）已知z是虚数，求证：z+
    1
    z
    为实数的充要条件是|z|=1．
    （1）设z=a+bi，（a，b∈R），则
    .
    z
    =a-bi，代入z•
    .
    z
    -3i•z=
    10
    1-3i
    ，得a2+b2-3ai+3b=1+3i
    故有
    a2+b2+3b=1
    a=-1
    得
    a=-1
    b=0或-3
    ，
    综上知z=-1，或z=-1-3i
    （2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
    充分性：由|z|=1得z•
    .
    z
    =1，即
    .
    z
    =
    1
    z
    ，故z+
    1
    z
    =2a，是实数
    必要性：由z+
    1
    z
    为实数，即a+bi+
    1
    a+bi
    =a+
    a
    a2+b2
    +（b-
    b
    a2+b2
    ）i是实数，
    即b-
    b
    a2+b2
    =0，可得a2+b2=1，故有|z|=1
    综上证明知，z+
    1
    z
    为实数的充要条件是|z|=1
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    已知复数z=1-2i，
    .
    z
    是z的共轭复数，则复数i
    .
    z
    所对应的点在复平面内的第
     
    象限内．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知复数z1=3-4i和z2=4-i在复平面内所对应的向量分别为
    OZ1
    ，
    OZ2
    （其中O为坐标原点），记向量
    Z1Z2
    所对应的复数为z，则z的共轭复数为
    1-3i
    1-3i
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•福建）已知复数z的共轭复数
    .
    z
    =1+2i    （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    已知复数z=1-2i，数学公式是z的共轭复数，则复数数学公式所对应的点在复平面内的第________象限内．

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

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