Question

已知函数f（x）（x∈R）是以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x²-x+b）．若函数f（x）在区间[-2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A、-1＜b≤1
• B、

  1

  4

  ≤b≤

  5

  4

• C、-1＜b＜1或b=

  5

  4

• D、

  1

  4

  ＜b≤1或b=

  5

  4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±2是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围．

解答： 解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，
所以f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），则f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，
且当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x²-x+b），
所以当x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，
即

△=1-4b＜0 ( 1 2 )2- 1 2 +b=1

或

△=1-4b＜0 02-0+b-1≤0 22-2+b-1＞0

，
解得

1

4

＜b≤1或b=

5

4

，
故选：D．

点评：本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．